Kane's Method의 특성
- 벡터기반(vector-based) 방법으로 3D 분석에 용이
- Vector cross product와 dot product를 적극적으로 활용
- Generalized force를 이용하여 운동 방정식 기술
- Generalized inertia force ${F}^{*}_{r}$
- D'Alembert Principle에 의해 $F_r + F^*_r = 0$
- 수식을 간단하게 하기위해 generalized speed, partial velocity, partial angular velocity 활용
- non contributing force와 torque를 무시
Solve 1.5 and compare the results of Kane's method? What is the reason why the answers are different between Kane's method and Newton-Euler method?
free body diagram으로 나타내면
Vector Kinematics
- Ground reference frame을 $(N)$ 이라 하고 좌표계는 $(\hat{n_{1}},\hat{n_{2}},\hat{n_{3}})$
- Link $A$ body frame을 $(A)$ 이라 하고 좌표계는 $(\hat{a_{1}},\hat{a_{2}},\hat{a_{3}})$
- Link $B$ body frame을 $(B)$ 이라 하고 좌표계는 $(\hat{b_{1}},\hat{b_{2}},\hat{b_{3}})$
- 각 축 각도 : $q_{1}, q_{2}$
- $N$에서 $A$로 작용하는 토크 $\vec{\tau}_{N/A}$
- $A$에서 $B$로 작용하는 토크 $\vec{\tau}_{A/B}$
- $\vec{F}$는 링크 끝단에 작용하는 external force
- Direction cosine table
$c_i = \cos{q_i}$ , $s_i = \sin{q_i}$, $c_{12} = \cos{(q_1+q_2)}$, $s_{12} = \sin{(q_1+q_2)}$ - 각속도와 각가속도
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$N$ 프레임과 $A$ 프레임 사이의 각속도는 $q_{1}$의 변화량이다. $\hat{a}_3$은 회전방향의 normal vector이다.
${}^{N}\vec{\omega}{}^{A} = \dot{q_1}\hat{a}_3$
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$N$ 프레임과 $A$ 프레임 사이의 각가속도는 $\dot{q}_{1}$의 변화량이다. $\hat{a}_3$은 회전방향의 normal vector이다.
${}^{N}\vec{\alpha}{}^{A} = \ddot{q}_{1}\hat{a}_3$
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$N$ 프레임과 $B$ 프레임 사이의 각속도는 $q_1$과 $q_2$의 합의 변화량이다. $\hat{b}_3$은 회전방향의 normal vector이다.
${}^{N}\vec{\omega}{}^{B} = (\dot{q}_{1}+\dot{q}_2)\hat{b}_3$
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$N$ 프레임과 $B$ 프레임 사이의 각가속도는 $\dot{q}_1$과 $\dot{q}_2$의 합의 변화량이다. $\hat{a}_3$은 회전방향의 normal vector이다.
${}^{N}\vec{\alpha}{}^{B} = (\ddot{q}_1+\ddot{q}_2)\hat{b}_3$
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- 특정 포인트에 대한 (선)속도와 (선)가속도
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$A_0$에서의 속도와 가속도
${}^{N}\vec{v}{}^{A_0} = 0$
${}^{N}\vec{a}{}^{A_0} = 0$
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$A^{*}$(A링크의 무게중심)에서의 속도와 가속도
${}^{N}\vec{v}{}^{A^{* }} = \rho_{A} \dot{q}_1 \hat{a}_2 $
${}^{N}\vec{a}{}^{A^{* }} = \frac{d}{dt}({}^{N}\vec{v}{}^{A^{* }}) $
$=\rho_{A} \frac{d}{dt}( \dot q_1 ) \hat a_2 +\rho_{A} \dot q_1 \frac{d}{dt}( \hat a_2 )$
$=\rho_{A}\ddot q_1\hat a_2+\rho_{A}\dot q_1({}^{N}\vec{\omega}{}^{A}\times \hat a_2)$
$=-\rho_{A} \dot q_{1}^2 \hat a_1+\rho_{A} \ddot q_1 \hat a_2 $
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